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最小路径覆盖问题是指将图中的所有顶点划分为若干路径，使得每条路径互不相交且覆盖所有顶点，目标是找到覆盖所有顶点所需路径的最小数量。解决这个问题的经典方法是通过二分图最大匹配来计算。
在二分图中，我们可以将图的顶点分为两部分，左边的顶点与右边的顶点通过边相连。通过计算二分图的最大匹配，我们可以得到覆盖所有边的最大的边集合。根据König定理，二分图的最大匹配等于最小顶点覆盖的大小。然而，在路径覆盖问题中，我们实际上需要的是最小路径覆盖，这与二分图的最大匹配有关，但需要通过特定的图构建方式来实现。
以下是实现最小路径覆盖的具体步骤：
图的构建：将原图转换为二分图的形式。对于每个顶点，将其与其他顶点通过边相连。通常，我们会将顶点分为两部分，左边的顶点与右边的顶点通过边相连，形成二分图的结构。
最大流算法：使用Dinic算法计算二分图的最大流。最大流对应于二分图中的最大匹配。
最小路径覆盖计算：根据二分图的最大匹配结果，计算最小路径覆盖的值。具体来说，最小路径覆盖等于顶点数减去最大匹配的大小。
以下是代码实现的核心部分：
#include#include #include #include #include #include #include using namespace std;#define ll long long#define M 20010#define N 2010int nxt[M << 1], to[M << 1], w[M << 1], h[N], lev[N], cur[N], t;void add(int x, int y, int z) { nxt[++e_num] = h[x]; to[e_num] = y; w[e_num] = z; h[x] = e_num;}int gi() { int x = 0, o = 1; char ch = getchar(); while (ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar(); if (ch == '-') o = -1, ch = getchar(); while (ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); return o * x;}bool bfs() { queue q; for (int i = 0; i <= t; i++) lev[i] = 0; q.push(0), lev[0] = 1; while (!q.empty()) { int u = q.front(); q.pop(); for (int i = h[u]; i != -1; i = nxt[i]) { int v = to[i]; if (lev[v] == 0 && w[i]) { lev[v] = lev[u] + 1; q.push(v); if (v == t) return true; } } } return false;}int dfs(int u, int f) { if (u == t) return f; int tag = 0, c; for (int &i = cur[u]; i != -1; i = nxt[i]) { int v = to[i]; if (lev[v] == lev[u] + 1 && w[i]) { c = dfs(v, min(f - tag, w[i])); w[i] -= c; w[i ^ 1] += c; tag += c; if (f == tag) return tag; } } return tag;}int dinic() { int ret = 0; while (bfs()) { for (int i = 0; i <= t; i++) cur[i] = h[i]; ret += dfs(0, ll(1e18)); } return ret;}int main() { n = gi(), m = gi(); t = 2 * n + 1; memset(h, -1, sizeof(h)); for (int i = 1; i <= m; i++) { int x = gi(), y = gi(); add(x, y + n, 1), add(y + n, x, 0); } for (int i = 1; i <= n; i++) { add(0, i, 1), add(i, 0, 0); add(i + n, t, 1), add(t, i + n, 0); } printf("%d\n", n - dinic()); return 0;}
代码实现的核心思想是通过构建二分图的最大流，计算最小路径覆盖的值。通过广度优先搜索（BFS）计算层次，深度优先搜索（DFS）计算最大流，Dinic算法则是一个高效的流网络最大流算法，能够快速计算出最大流值。
最终，最小路径覆盖的值可以通过顶点数减去最大流的值得到。该方法通过将图转换为二分图的形式，利用二分图的最大匹配来解决最小路径覆盖问题，是一种非常高效的解决方案。
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